Porque todo lo que hacemos, deja una marca y porque siempre caminamos buscando respuestas ......

Matemática

"Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura."
Bertrand Russell (1872-1970)



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Recorriendo el sitio  encontré una sección denominada Cultura y matemáticas compuesta por las siguientes categorías:                                                                                  
MÚSICA Y MATEMÁTICA
Despertó en mí un gran interés la lectura de los artículos publicados en esta categoría. 
Uno de los primeros interrogantes que se plantea es:
¿cuál es el papel de la matemática en la afinación?
La respuesta , y mucho más, la encontramos en uno de los artículos publicado en enero de 2004.
A lo largo de los 29 títulos que lleva desarrollados, se puede encontrar la relación directa que existe entre ciertos conceptos matemáticos y musicales a  través de la historia.
Algunos de los conceptos matemáticos son: números racionales y números irracionales, razón y proporción, longitud, axiomas, funciones, variables, sucesión, combinatoria, progresión geométrica, congruencias módulo, exponencial y logarítmo base dos, combinatoria y probabilidades, transformaciones geométricas (movimientos, homotecias), teselados y recubrimientos, matrices , entre muchos otros.
¿Por qué la música emociona tanto a las personas?
"Una primera clave para responder a esta difícil pregunta la encontramos en lo orígenes orales de la música. Las matemáticas estudian las cantidades, las formas, sus relaciones y sus variaciones. La música es la variación de ciertas cantidades (frecuencia, intensidad) en un mismo instante (armonía) y a lo largo del tiempo (ritmo, melodía)".
En 1787, Mozart compone Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados) una pieza que tiene la particularidad de que... ¡cada vez que se interpreta nadie la había escuchado antes, ni siquiera el propio Mozart!


En las siguientes direcciones podemos oir y generar automáticamente una partitura según las reglas de Mozart. En el primero, además, podemos guardar una copia.

http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/collaborate.cgi?tables=yes

"En geometría existen transformaciones que "cambian" una figura geométrica "conservando" características fundamentales que permiten su reconocimiento, ellas son las simetrías, rotación traslación y las homotecias. 
La característica fundamental de la simetría musical es la repetición. Todos los tipos de simetrías son formas de repetición. La combinación de simetría y asimetría es el principio básico de la música.
Las transformaciones geométricas que conservan la forma se corresponden en el mundo musical con transformaciones que conservan intervalos..........."
Para curiosear:
Geometría musical metamorfosis

Los invito a recorrer y profundizar más sobre música y matemática





 Similitud rítmica
 El ritmo flamenco
El flamenco es una música que surgió a finales del siglo XVIII en Andalucía y que está formada por una mezcla de varias influencias, tales como la propia música folclórica de Andalucía, junto con la música gitana, árabe, bizantina, incluso la música judía. La mezcla de estas influencias, destiladas por el alambique del tiempo y la práctica musical, produjeron una música altamente estilizada y compleja, con características muy peculiares. Entre las características más llamativas del flamenco se encuentra su acompañamiento con palmas. Las palmas pueden ser fuertes o sordas y en flamenco sirven como elemento métrico, como patrón de referencia temporal e incluso actúan como voz independiente, con su propia personalidad rítmica. Aquí trataremos los patrones rítmicos que sirven como referencia temporal. En música algunos autores los llaman claves.  Una clave se define como un patrón rítmico que se repite durante la pieza y cuyas funciones principales son la estabilización rítmica y la organización del fraseo musical (no confundir clave con referente de densidad). Los estilos flamencos, atendiendo a su compás, se clasifican en binarios, ternarios, alternos e irregulares. Cada estilo en el flamenco tiene una clave asociada. Los estilos binarios usan como clave un mismo patrón rítmico, [. x x x], donde [.] representa una palma sorda y [x] una palma fuerte; no obstante, a veces se toca como la palma sorda como silencia y la palma fuerte como palma normal. Los patrones ternarios son 5 y abarcan muchos más estilos, y son el objeto de nuestro estudio. En la figura de abajo tenemos las claves asociadas a los ritmos ternarios representados con la notación de y [. ] y [x].
Similitud rítmica en el flamenco
Figura 1: Las clave


Quede claro el hecho de que es posible que la clave no se toque en una interpretación determinada de una pieza. Eso no obsta para que los músicos flamencos tengan la clave en la cabeza y la organización musical se rija por ella. Es igualmente posible oír versiones muy ornamentadas de la clave. Una misma clave sirve para varios estilos y, por tanto, los nombres que aparecen en la figura están elegidos según la nomenclatura de Gamboa [Gam02]. Por ejemplo, el patrón del fandango se usa para las sevillanas; el de la soleá para las bulerías bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulería por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras.
Para ilustrar el fenómeno de la clave, vamos a escuchar la guajira Hermosísima cubana en la interpretación de Pepe de Lucía en la película Flamenco. Ciertamente aquí no se oye a un palmero tocar el ritmo [x . . x . . x . x . x. ], pero está presente en toda la pieza. Es claro a partir de la introducción lenta y lírica de la pieza, en el minuto 0:27, y muy evidente a partir del minuto 1:00.


2.2. Distancias de similitud rítmica
Las dos medidas de similitud rítmica que estudiaron Guastavino y sus colegas fueron la distancia cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La primera fue propuesta por Gustafson [Gus88] para medir la distancia rítmica entre segmentos de habla. La segunda fue propuesta por Díaz-Báñez y sus colegas en [DBFG+04]. La distancia cronotónica representa el ataque de las notas y su duración a la vez. Para ello, usa una especie de histograma en que en el eje x se representan los ataques y en el eje y la duración de las notas. En la figura 2 se muestra las representaciones cronotónicas (también llamadas TEDAS) de las claves ternarias.
Similitud rítmica en el flamenco
Figura 2: La representación cronotónica de las claves ternarias del flamenco.
La distancia cronotónica se calucla midiendo el área que queda entre dos ritmos superpuestos entre sí. La zona rayada de la última gráfica de la figura 3 representa la distancia entre el patrón del fandango y el de la bulería.
Similitud rítmica en el flamenco
Figura 3: La distancia cronotónica entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]).
La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones:
  1. Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos.
  2. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2.
  3. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2.
  4. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1.
  5. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio.
En la figura 4 se muestra la distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo.
Similitud rítmica en el flamenco
Figura 4: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]).
En las tablas 2.2 y 2.2 tenemos las matrices de disimilitud para ambas distancias. Las matrices se llaman de disimilitud porque las distancias reflejan cuán lejos está un ritmo de otro.

SoleáBuleríaGuajiraSeguiriyaFandango
Soleá0



Bulería60


Guajira480

Seguiriya81280
Fandango1014660
Tabla 1: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica.

SoleáBuleríaGuajiraSeguiriyaFandango
Soleá0



Bulería10


Guajira780

Seguiriya111240
Fandango78240
Tabla 2: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica.








Más sobre música y matemática

Xenakifue un compositor que introdujo principios matemáticos en la composición musical y que tuvo una gran preocupación por las cuestiones teóricas. Xenakis usó las matemáticas también como una herramienta de análisis musical, especialmente para la música del siglo XX que más radicalmente se apartaba de la tradición tonal, armónica y métrica. Siguiendo la naturaleza universal, sistematizadora, unificadora, abstracta y al tiempo analítica de las matemáticas, Xenakis estudiaba fenómenos musicales bajo la lupa de esa asombrosa disciplina. Husmeaba estructuras comunes a varios objetos musicales, reconocía qué peculiaridades se podían identificar entre los fenómenos musicales y los matemáticos, fijaba qué operaciones eran relevantes entre ellos y, finalmente, soldaba pródigamente las piezas para erigir su edificio conceptual.




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