APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

LITERATURA Y MATEMÁTICA

Encontramos en divulgamat.net una sección llamada "Literatura y matemática"
Muchos son los artículos publicados y muy interesantes sobre la relación entre esas dos ramas del saber.
Los párrafos siguientes son una muestra de dichas publicaciones:

Por el contrario, hay quienes como el escritor romántico alemán Johann Wolfgang von Goethe soñaban con reunir la ciencia y la poesía.

Se olvidó que la ciencia se originó en la poesía, no se tiene en cuenta que, después de una revolución de los tiempos, podrían reunirse de nuevo, amigablemente, en un punto más alto, para beneficio de ambas.

Otro de los símbolos del mundo de las letras, el escritor francés Gustave Flaubert también creía en que ambas visiones del mundo, la artística y la científica, eran la misma y que volverían a juntarse de nuevo,

A medida que avance, el arte será más científico, del mismo modo que la ciencia se volverá artística; los dos se reunirán en la cumbre, después de haberse separado en la base.

Y más aún, decía

La poesía es una ciencia exacta, como la geometría.

Esa visión de las matemáticas, como un conocimiento dinámico, creativo, lleno de imaginación, que busca la belleza y que se inspira en ella, es una visión más real, que muchos intelectuales han sabido reconocer en su pensamiento o en sus creaciones literarias. Veamos algunas citas en este sentido, empezando por la del matemático inglés G. H. Hardy, para quien la belleza es una parte esencial de las matemáticas,

Los procesos del matemático, como los del pintor o el poeta han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras, han de ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es el primer test. No hay lugar permanente para una matemática fea.

La matemática rusa Sofia Kovalevskaya, pone el énfasis en la imaginación y el proceso creativo al escribir que

No es posible ser matemático sin llevar un poeta en el alma.

Pero también de la mano de grandes escritores, como el español José Ortega y Gasset, que reconoce la participación de la imaginación en la creación matemática,

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la Matemática brota de la misma raíz que la poesía, del don imaginativo.

El poeta ruso Alexander Sergeyevich Pushkin, que también compara las matemáticas con la poesía,

La inspiración es necesaria en geometría, tanto como en poesía.

El poeta portugués Fernando Pessoa, que aporta una interesante visión de las matemáticas como creadoras de belleza,

El binomio de Newton  es tan bello como la Venus de Milo.

En el libro “La vida, instrucciones de uso”, de Georges Perec, este utiliza una estructura matemática sugerida por Claude Berge, basada en el problema de los cuadrados latinos de Euler. Pero el último ejemplo que mostraremos aquí es una divertida utilización de Luc Étienne de la banda de Moebius para transformar un poema en otro. En el interesante artículo “Un paseo matemático por la literatura” (Revista SIGMA, n. 32, 2008), de Marta Macho, podemos leer la siguiente traducción. Se considera una banda de papel rectangular (al menos 10 veces más larga que ancha) se escribe la mitad de la poesía:

Trabajar, trabajar sin cesar,
para mi es obligación
no puedo flaquear
pues amo mi profesión…

Entonces se gira la tira de papel sobre su lado más largo, y se escribe la segunda mitad del poema:

Es realmente un tostón
perder el tiempo,
y grande es mi sufrimiento,
cuando estoy de vacación.

Este poema se transforma en otro si se pega la tira por los extremos para obtener una banda de Möbius y sobre ella se lee, en la única cara de la banda de Moebius, un poema con sentido “opuesto” a la suma de los dos poemas anteriores:

Trabajar, trabajar sin cesar, es realmente un tostón
para mi es obligación perder el tiempo
no puedo flaquear y grande es mi sufrimiento,
pues amo mi profesión… cuando estoy de vacación.

Para solucionar un inconveniente visual

Las escuelas donde trabajo reciben las netbooks

¡Qué división!

Para disfrutar de la armonía visual y auditiva

Una WEB QUEST:

• Es una estrategia educativa que utiliza Internet como fuente de información
• Usa el mundo real y tareas auténticas para motivar a los alumnos
• Su estructura es constructivista y por tanto fuerza a los alumnos a transformar la información y entenderla.
• Es un modelo simple e interesante fundamentado en el aprendizaje cooperativo y en procesos
• investigativos en la construcción del saber.

“Se trata de hacer algo con información: analizar, sintetizar, comprender, transformar, crear, juzgar, valorar, etc. La tarea debe ser algo más que simplemente contestar preguntas concretas sobre hechos o conceptos o copiar lo que aparece en la pantalla del ordenador en una ficha. Idealmente, la tarea central de una WebQuest es una versión reducida de lo que las personas adultas hace en el trabajo, fuera de los muros de la escuela” (J. Adell, 2002).

• Es una actividad orientada a la investigación donde toda o casi toda la información procede de Internet.
• Se caracteriza por presentar actividades orientadas y guiadas que le permiten al alumno llevar a cabo una tarea específica a través de consignas establecidas y una serie de recursos brindados por el docente. De esta manera el alumno navega por internet con una tarea determinada y guiada.

Trabajar con Webquests como estrategia didáctica ofrece varias posibilidades:

• Facilitar la integración de Internet como recurso en el aula.
• Propiciar el trabajo por proyectos que incluyan a las TIC
• Permitir la interrelación de áreas.
• Promover el aprendizaje cooperativo y colaborativo. Esto favorece la interdependencia positiva y la interacción ya que el trabajo se hace de manera conjunta, o sea, es necesaria la colaboración y participación de todos para llevar a cabo la tarea.
•  Hacer un uso efectico del tiempo ya que el alumno navega por internet con una tarea a desarrollar.
• Potenciar el desarrollo de capacidades tales como comparar, identificar, clasificar, deducir, analizar, etc.
• A su vez favorece un aprendizaje constructivo, ya que el alumno lleva a cabo procesos de búsqueda y selección de información, análisis, síntesis y evaluación.

      Los elementos de una webquest son:

• Introducción: En este espacio se establece el marco de trabajo. Es importante una introducción    sugerente y motivadora .
• Tarea: Aquí se definen claramente las tareas que llevará a cabo el alumno.
• Proceso: Se describen los pasos que seguirá el alumno para que la tarea pueda ser llevada a cabo.
• Recursos: Se especifican los sitios de interés en los que el alumno podrá buscar y seleccionar la información pertinente para llevar a cabo la tarea.
• Evaluación: Se establece la forma y los criterios de evaluación de la tarea.
•  Conclusión: Se redacta algún tipo de conclusión de lo aprendido
• Créditos y Referencias: Se transcriben las fuentes de información utilizadas para la elaboración de la webquest.

Fuente: http://www.isabelperez.com/
                   http://www.buenosaires.gov.ar

¿Por qué aprender matemática?

        Ignacio Zalduendo                                   
        Para LA NACION

Mientras describo, por ejemplo, la función logaritmo, un alumno levanta la mano y dice: "Profe, ¿y esto para qué me va a servir?".

¿Cómo le explico que la única vez en mi vida que usé un logaritmo fue para elegir mi AFJP?

La pregunta también surge regularmente en cuanto uno menciona el nombre del teorema que se propone explicar. Es una muy buena pregunta. Y no sólo para el alumno, ya que el profesor también debe saber para qué enseña matemática y, en consecuencia, qué ha de enseñar y cómo conviene hacerlo.

Sí, claro, la matemática es muy útil. Es fácil mostrar ejemplos. Sin matemática no habría autos, remedios, teléfonos, encuestas, tomografías... No habría transporte, ni finanzas ni comunicación ni producción de casi nada. Pero la respuesta no es ésa, porque el chico quiere saber para qué le va a servir la matemática a él, no para qué le va a servir al mundo moderno.

Para algunos –los que en su vida profesional se ocuparán del diseño o la gestión de las actividades mencionadas arriba–, la respuesta es que una parte de lo que están aprendiendo será una herramienta en su quehacer cotidiano o será el sustento teórico necesario sobre el que construirán otras herramientas más especializadas. De éstos, a los más creativos la matemática les resultará más útil por aquello de que uno termina echando mano a lo que sabe, y cuanto más sepa, mejor.

Pero hay otra parte de la respuesta sobre la utilidad de aprender matemática que debería ser aplicable absolutamente a todos, y reside en el poder formativo que tiene su estudio. Aquí no se trata de descubrir la pólvora: Platón exaltaba ese poder formativo en La República.

Consideremos el siguiente testimonio: "Finalmente me dije: jamás seré abogado si no entiendo lo que significa demostrar; dejé Springfield y regresé a casa de mi padre, donde permanecí hasta que pude demostrar cada Proposición de los seis libros de Euclides. Entonces supe lo que significa demostrar, y volví a mis estudios de leyes". Abraham Lincoln llegó a ser mucho más que un buen abogado, y aunque no afirmo que fue porque estudió a Euclides, lo cierto es que cuando uno lee sus cartas y discursos percibe claramente una mente con una sólida formación matemática. Más cerca, Manuel Belgrano fue un gran impulsor de la matemática, a la que consideraba "la llave maestra de todas las ciencias y artes".

Se me dirá que mis ejemplos son del siglo XIX y que hoy en día se requieren habilidades distintas. No lo creo. Mirar dos pantallas a la vez mientras se habla de una cosa, se escribe otra paseando los dedos sobre un teclado y se toma una decisión puede ser una habilidad útil para un piloto de caza, pero los demás nos vemos enfrentados diariamente a problemas sutiles y complejos que requieren nuestra atención indivisa y para los cuales tenemos, por suerte, bastante más de tres segundos. "La educación es lo que queda tras haber olvidado todo lo que se nos enseñó", dijo Albert Einstein. Y la matemática, cuando se enseña bien, deja hábitos y habilidades intelectuales básicos, esenciales para cualquier persona y de indudable valor social.

¿Por qué es formativa la matemática? En primer lugar, por su estructura lógica. Para hacer matemática (demostrar algo, resolver un problema) se necesitan muy pocos conceptos, pero bien definidos y que se han de manejar con un discurso razonado y despojado de prejuicios. Será importante distinguir lo esencial de lo accesorio, buscar analogías, cambiar el punto de vista y captar relaciones escondidas. Todo esto ha de producirse dentro de una frontera delimitada por reglas claras. Reglas que no admiten doblez ni excepción.

En segundo lugar, por la creatividad que fomenta. Porque dentro de esas fronteras bien delimitadas que acabo de mencionar reina la libertad más absoluta. Vale todo. Sobra lugar para la imaginación y la creatividad (hay, por dar un ejemplo, más de 350 demostraciones del Teorema de Pitágoras). Nos guiamos por nuestra intuición y sentido estético. Así, la matemática es personal. Tanto que no pocas veces, cuando se lee un teorema se adivina la mano del autor tal como se adivina al pintor cuando se mira su obra.

En tercer lugar, la matemática obliga a la honestidad. Es difícil engañar a otros sin engañarse antes uno mismo, y en matemática esto simplemente no se puede: los desvíos, las falsedades, no encuentran lugar. Existe la posibilidad de error, pero esos errores nos explotan en la cara. La cuenta da lo que da, y si no nos gusta el resultado habrá que reconocer que tiene una existencia propia que escapa a nuestra preferencia y a nuestra voluntad.

En cuarto lugar, la matemática enseña paciencia, tenacidad y la aceptación de los tiempos humanos. Las máquinas son muy rápidas, pero ninguna piensa ni puede generar una idea. Para eso hace falta sopesar alternativas, dejarlas decantar, encontrar un camino, seguirlo y, cuando falle, buscar otro. "Que venga la inspiración no depende de mí. Lo único que puedo hacer es asegurarme de que me encuentre trabajando", decía Pablo Picasso. Lo mismo enseña el hecho de enfrentarse con un buen problema matemático.

Por último, la matemática nos hace humildes. Porque en ella encontramos todos, tarde o temprano, los límites claros de nuestra fuerza y habilidad. Límites que se podrán superar con tiempo, esfuerzo y estudio ¡y esto también es formativo! Pero siempre para encontrar, más allá, nuestros nuevos límites.

Discursos razonados, reglas claras sin excepción, libertad dentro de la ley, creatividad, honestidad, paciencia y humildad no son cosas que nos estén sobrando hoy a los argentinos. Así, llega la respuesta a la primera pregunta: "Esto te va a servir para ser más humano, mejor ciudadano y mejor persona".

 © La Nacion

El autor es matemático, investigador del Conicet y vicerrector de la Universidad Torcuato Di Tella.

¿Qué es la competencia digital?

Manuel Area explica los fundamentos teóricos de la alfabetización en la cultura digital, y de cómo enseñarla en las escuelas.

Manuel Area, profesor de Tecnología Educativa, Facultad de Educación de la Universidad de Laguna (España).

Según  Manuel Area la incorporación de tecnología en el aula debe ser cuidadosa y planificada. Este autor formula un decálogo sobre las buenas prácticas con TIC en las aulas que permite orientar la tarea del docente de manera adecuada

1. Lo relevante debe ser siempre lo educativo, no lo tecnológico. Por ello, un docente cuando planifique el uso de las TIC siempre debe tener en mente qué es lo que van a aprender los alumnos y en qué medida la tecnología sirve para mejorar la calidad del proceso de enseñanza que se desarrolla en el aula.

2. Un profesor o profesora debe ser consciente de que las TIC no tienen efectos mágicos sobre el aprendizaje ni generan automáticamente innovación educativa. El mero hecho de usar una computadora en la enseñanza no implica ser mejor ni peor profesor ni que sus alumnos incrementen su motivación, su rendimiento o su interés por el aprendizaje.

3. Es el método o estrategia didáctica junto con las actividades planificadas las que promueven un tipo u otro de aprendizaje. Con un método de enseñanza expositivo, las TIC refuerzan el aprendizaje por recepción. Con un método de enseñanza constructivista, las TIC facilitan un proceso de aprendizaje por descubrimiento.

4. Se deben utilizar las TIC de forma que el alumnado aprenda “haciendo cosas” con la tecnología. Es decir, debemos organizar en el aula experiencias de trabajo para que el alumnado desarrolle tareas con las TIC de naturaleza diversa, como pueden ser el buscar datos, manipular objetos digitales, crear información en distintos formatos, comunicarse con otras personas, oír música, ver videos, resolver problemas, realizar debates virtuales, leer documentos, contestar cuestionarios, trabajar en equipo, etc.

5. Las TIC deben utilizarse tanto como recursos de apoyo para el aprendizaje académico de las distintas materias curriculares (matemáticas, lengua, historia, etc.) como para la adquisición y desarrollo de competencias específicas en la tecnología digital e información.

6. Las TIC pueden ser utilizadas tanto como herramientas para la búsqueda, consulta y elaboración de información como para relacionarse y comunicarse con otras personas. Es decir, debemos propiciar que el alumnado desarrolle con las TIC tareas tanto de naturaleza intelectual como social. 

7. Las TIC deben ser utilizadas tanto para el trabajo individual de cada alumno como para el desarrollo de procesos de aprendizaje colaborativo entre grupos de alumnos, tanto presencial como virtualmente.

8. Cuando se planifica una lección, unidad didáctica, proyecto o actividad con TIC debe hacerse explícito no solo el objetivo y contenido de aprendizaje curricular, sino también el tipo de competencia o habilidad tecnológica/informacional que se promueve en el alumnado.

9. Cuando trabajamos con los alumnos y sus netbooks debe evitarse la improvisación. Es muy importante tener planificados el tiempo, las tareas o actividades, los agrupamientos de los estudiantes, el proceso de trabajo.

10. Usar las TIC no debe considerarse ni planificarse como una acción ajena o paralela al proceso de enseñanza habitual. Es decir, las actividades de utilización de las netbooks tienen que estar integradas y ser coherentes con los objetivos y contenidos curriculares que se están enseñando.

¡Felíz Primavera!!!

Doña Primavera

Doña Primavera 

viste que es primor, 

viste en limonero 

y en naranjo en flor. 

Lleva por sandalias 

unas anchas hojas, 

y por caravanas 

unas fucsias rojas. 

Salid a encontrarla 

por esos caminos. 

¡Va loca de soles 

y loca de trinos! 

Doña Primavera 

de aliento fecundo, 

se ríe de todas 

las penas del mundo... 

No cree al que le hable 

de las vidas ruines. 

¿Cómo va a toparlas 

entre los jazmines? 

¿Cómo va a encontralas 

junto de las fuentes 

de espejos dorados 

y cantos ardientes? 

De la tierra enferma 

en las pardas grietas, 

enciende rosales 

de rojas piruetas. 

Pone sus encajes, 

prende sus verduras, 

en la piedra triste 

de las sepulturas... 

Doña Primavera 

de manos gloriosas, 

haz que por la vida 

derramemos rosas: 

Rosas de alegría, 

rosas de perdón, 

rosas de cariño, 

y de exultación.

           Gabriela Mistral   

Leonardo Da Vinci

El hombre que quería saberlo todo

Videos educativos 

UN POCO DE HUMOR

DECÁLOGO DE LA DIDÁCTICA MATEMÁTICA

                                                                                                     D. PEDRO PUIG ADAM

1. No adoptar, una didáctica rígida, sino amoldada en cada caso al alumno, observándole constantemente.
2. No olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos históricos de su evolución.
3. Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.
4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.
5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.
6. Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.
7. Promover en todo lo posible la autocorrección.
8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas. 
9. Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.
10. Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.

En el día del maestro

Un homenaje a todos los que día a día emprendemos este viaje.....

y a Rosa Ana, gracias por compartirlo

El Amor

En cierto libro de matemática, un cociente se enamoró de una incógnita.

Él (cociente), producto de una familia de importantísimos polinomios.

Ella, una simple incógnita, de mezquina ecuación literal ¡oh! ¡Qué tremenda desigualdad!

Pero como todos saben, el amor no tiene límites y va del más infinito al menos infinito.

Embargado, el cociente la contempló desde el vértice hasta la base, bajo todos los ángulos, agudos y obtusos.

Era linda, una figura impar que se evidenciaba por: mirada romboidal, boca trapezoidal y senos esféricos en un cuerpo cilíndrico de líneas sinusoidales.

¿Quién eres? preguntó el cociente con una mirada radical. Soy la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.

Pero puedes llamarme hipotenusa - contestó ella con expresión algebraica de quien ama.

Él hizo de su vida una paralela a la de ella, hasta que se encontraron en el infinito. Y se amaron hasta el cuadrado de la velocidad de la luz, dejando al sabor del momento y de la pasión, rectas y curvas en los jardines de la cuarta dimensión.

Él la amaba y el recíproco era verdadero. Se adoraban con las mismas razones y proporciones en un intervalo abierto de la vida.

Luego de tres cuadrantes, resolvieron casarse.

Trazaron planes para el futuro y todos le desearon felicidad integral. Los padrinos fueron el vector y la bisectriz.

Todo marchaba sobre ejes. El amor crecía en progresión geométrica. Cuando ella estaba en sus coordenadas positivas, concibió un par: al varón, en homenaje al padrino lo bautizaron versor; la niña, una linda abscisa. Ella fue objeto de dos operaciones.

Eran felices, hasta que un día todo se volvió una constante.

Fue así que apareció otro. Sí, otro. El máximo común divisor, un frecuentador de círculos viciosos. Lo mínimo que el máximo ofreció fue de una magnitud absoluta.

Ella se sintió impropia, pero amaba al máximo. Al saber de esta regla de tres, el cociente la llamó fracción ordinaria.

Sintiéndose un denominador común, resolvió aplicar la solución trivial: un punto de discontinuidad en sus vidas. Cuando los dos amantes estaban en coloquio, él, en términos menores y ella

en combinación lineal, llegó el cociente y en un giro sin límites disparó su 45.

Ella pasó al espacio imaginativo y el fue a pasar a un intervalo cerrado, donde la luz solar se veía a través de pequeñas mallas cuadradas.

                                             

                                                                                  Autor anónimo